Die ewige Rente: noch ein Kammer-Hammer…

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Dynamische Methoden aller Art sind in den Prüfungen der Industrie- und Handelskammern schon immer von großer Bedeutung gewesen. Erst vor wenigen Tagen haben wir an dieser Stelle eine schwierigere Aufgabengestaltung aus der Prüfung "Finanzierung und Investition" der Fortbildung "Geprüfter Technischer Betriebswirt" vom 02.10.2008 demonstriert. In der gleichen Prüfung ist jetzt erstmals, soweit ich bis zurück in die 1990er Jahre sehen kann, eine Aufgabe zur ewigen Rente aufgetaucht: ein echter Kammer-Hammer. Dabei ist die Lösung hier besonders einfach, wenn man nur weiß wie:

 
t Et – At C0 zu 12%
0 –800.000,00 –800.000,00
1 100.000,00 89.285,71
2 100.000,00 79.719,39
3 100.000,00 71.178,02
4 100.000,00 63.551,81
[…]
11 100.000,00 28.747,61
12 100.000,00 25.667,51
13 100.000,00 22.917,42
14 100.000,00 20.461,98
[…]
21 100.000,00 9.255,96
22 100.000,00 8.264,25
23 100.000,00 7.378,80
24 100.000,00 6.588,21
[…]
31 100.000,00 3.337,79
32 100.000,00 2.980,17
33 100.000,00 2.660,87
34 100.000,00 2.375,77
[…]
51 100.000,00 308,94
52 100.000,00 275,84
[…]
71 100.000,00 32,03
72 100.000,00 28,60
[…]
91 100.000,00 3,32
92 100.000,00 2,96
[…]
Kapitalwert 33.333,33

Die besondere Härte aus Aufgaben 2 der genannten Prüfung besteht nämlich in ihrer nur scheinbaren Schwierigkeit. Dabei ist eine Lösung im Prinzip mit einer einzigen (!) Division (und einigen kleinen Nebenrechnungen) machbar. Daß bisher in ca. 15 Jahren noch keine einziges Mal nach der ewigen Rente gefragt wurde, machte die Sache zu einer bösen Falle – denn keiner hat damit gerechnet. In Zukunft stellt sowas aber kein Test mehr dar, denn es ist wirklich einfach.

Wir geben hier natürlich nicht den Wortlaut wieder (was urheberrechtlich unzulässig wäre), sondern nur das Grundkonzept: Ein Investor errichtet ein Gebäude für sagen wir mal 800.000 Euro. Dies ist die Anfangsauszahlung, die in dynamischen Methoden der Investitionsrechnung bekanntlich als negative Zahl erscheint (nebenstehend). Der Investsor vermietet das Gebäude, und erhält insgesamt 100.000 Euro pro Jahr als Rückfluß-Saldo. Die Vermietung soll auf unbeschränkte Zeit stattfinden (also für "ewig"). Der Kapitalwert ist zu ermitteln.

Für den Kapitalwert gilt bekanntlich:

Allgemeine Definition des Kapitalwertes

Die Summenformel impliziert aber stets Endlichkeit, d.h. die Zahlungsreihe, die der Finanzmathematiker als Rente bezeichnet, hat ein Anfang und ein Ende. Das ist in der Investitionsrechnung der Regelfall, denn bekanntlich ist nichts unendlich – und schon gar nicht eine Rente. Im vorliegenden Fall soll aber auf unbeschränkte Zeit vermietet werden, und in jedem Jahr fließen Et – At = 100.000 Euro an den Investor zurück. Wie zum Teufel errechnet man hier den Kapitalwert?

Der Leser ist aufgerufen, es zunächst selbst mit einem Tabellenkalkulationsprogramm nachzuvollziehen. Die nebenstehende Tabelle ist ein gutes Muster, mußte aber für diesen Artikel verkürzt werden – denn um die Gesetzmäßigkeit zu erkennen, sollte die die zunächst zu zaubernde Tabelle wenigstens 140 Zeilen (!) lang sein. Erst dann stellt sich das gewünschte Ergebnis ein. Wir haben nebenstehend viele Zeilen ausgelassen und durch […] als fehlend gekennzeichnet.

Wird über mehr als 140 Zeilen addiert, dann ergibt sich nämlich bei einem Kalkulationszins von 12% p.a. ein Barwert aller Returns von 833.333,33 Euro. Hiervon ist die Anfangsauszahlung von 800.000 Euro zu subtrahieren, so daß ein Kapitalwert der ewigen Rente von 33.333,33 Euro verbleibt.

Eine Rechnung mit über 140 Zeilen ist jedoch offensichtlich wenig klausurtauglich. Doch es gibt eine geradezu erschreckend einfache Abkürzung:

Kapitalwert einer ewigen Rente

Man kommt also bei gleichbleibend hohen Rückflüssen zum Barwert aller Rückflüsse Et – At, indem man einfach einen (beliebigen) Saldo nimmt und durch den Zinssatz teilt – fertig! Anstatt also eine Rechnung von mehr als 140 Zeilen zu veranstalten genügt es, die 100.000 Euro eines beliebigen Jahres durch 12% oder 0,12 zu dividieren, und schon hat man den Barwert der Rückzahlungen i.H.v. 833.333,33 Euro, von dem nur noch die Anfangsauszahlung von 800.000 Euro zu subtrahieren ist. So einfach ist das!

Diese Gesetzmäßigkeit ist nicht nur bestürzend einfach, sondern auch höchst unrealistisch: schließlich weiß der kundige Investitionsrechner, daß nichts ewig ist, erst Recht in Zeiten der Finanzkrise. Ewige Renten wurden daher in der Fortbildung "Geprüfter Technischer Betriebswirt" stets ignoriert, und sie kamen ja auch nie in irgendwelchen Prüfungen vor. Alle, die sich darauf verlassen haben, und das waren eigentlich alle, waren in Aufgabe 2 der genannten Prüfung vom 02.10.2008 verlassen.

In diese Fall wird der kundige Klausurenteilnehmer jetzt nicht mehr tappen, denn das ist wirklich einfach. Hier stand nur der Überraschungseffekt im Wege, den die Prüfungspoeten – richtigerweise – vorhergesehen haben. Der BWL-Bote aber fragt sich: was ist die nächste Hürde?

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