Die Aufgabe kommt mir grade wie gelegen.
a)
Das ist lösbar mit etwas Wahrscheinlichkeitsrechnung aus Klasse 9/10, so betragen die
Übernahmewahrscheinlichkeiten:
P = 0,5 * 0,2 = 0,1 (Gruppe 1
P = 0,5 * 0,0 = 0,0 (Gruppe 2)
P = 0,5 * 0,6 = 0,3 (Gruppe 3)
P = 0,5 * 0,2 = 0,1 (Gruppe 4)
b)
Das ist präferenzabhängig. Ich gehe mal davon aus, dass Du mit U(G) = G1/2 nicht G*1/2,
sondern G^(1/2) meinst. Dann haben wir eine positive Risikoprämie und das
Sicherheitsäquivalent liegt unter dem Erwartungswert, denn der Nutzen des Erwartungswertes
ist nicht immer gleich dem erwarteten Nutzen!
Im folgenden ist µ der mathematische Erwartungswert und Ys ist das Sicherheitsäquivalent,
also jener mit P = 1,0 eintretender Einkommenswert, der exakt den gleichen Nutzen stiftet
wie in der "bisherigen" Situation ohne Versicherung.
Formal (E[...] bezeichnet den Erwartungswert)
E[U(G)] != U(Ys)Wir haben es hier mit "einfachen Chancen" oder auch sogenannten Standardprospekten zu tun.
Diese Prospekte setzen sich aus dem Wahrscheinlichkeitsvektor dessen Elemente summiert 1
ergeben müssen (erste Klammer) und dem Ertragsvektor mit dem schlechtestmöglichen und dem
bestmöglichen Ertrag (zweite Klammer) zusammen. Dann sehen die Prospekte so aus
{(P; 1-P); (Ygut; Yschlecht)}
Auf geht's:
{(0,1; 0,9) ; (100; 0)} Gruppe 1
Der erwartete Nutzen beträgt E[U(G)] = 0,1*100^0,5 + 0,9*0^0,5 = 0,1*10 = 1
Welcher sichere Betrag Ys stiftet denselben Nutzen?
1 = Ys^0,5
1² = Ys
Anmerkung: Der Nutzen des Erwartungswertes beträgt nur U(10) = 10^0,5 = 3,16
Anschaulich wird Gruppe 1 mit Versicherung eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung
erlangen los und es besteht die folgende Indifferenzrelation:
{(0,1; 0,9) ; (100; 0)} ~ {(1,0; 0) ; (1; 0)}
Das rechts vom Indifferenzzeichen stehende Prospekt ist das Versicherungsprospekt. Tritt der
gute Umweltzustand ein, werden 100 an Einkommen erzielt und 99 gehen aber an die
Versicherung als Prämie. Dann verbleibt ein Einkommen von 1. Und im schlechten Fall? Nun,
die Versicherungsprämie wäre auch hier zu entrichten, allerdings zahlt die Versicherung
"gleichzeitig" das VOLLE Einkommen an den Versicherungsnehmer zurück, was netto auch 1
macht.
Man kann obige Indifferenzrelation auch schreiben als:
{(0,1; 0,9) ; (100; 0)} ~ 1
{(0,0; 1,0) ; (400; 0)} Gruppe 2
E[U(G)] = 0*400^0,5 + 1*0^0,5 = 0
0 = Ys^0,5
0 = Ys
Aber ja! In so einem Fall würde sich nun wirklich niemand versichern.
Das Sicherheitsäquivalent ist genau 0.
{(0,3; 0,7) ; (2.500; 0)} Gruppe 3
E[U(G)] = 0,3 * 2.500^0,5 + 0,7 * 0^0,5 = 15
15 = Ys^0,5
15² = Ys
225 = Ys
Ein Betrag von "netto" 225 ist also genau so gut wie mit 30%iger Wahrscheinlichkeit 2.500 zu
haben und mit 70%iger Wahrscheinlichkeit leer auszugehen.
Damit beträgt offensitlich die Versicherungsprämie
R = 2.500-225 = 2.275
Das ist wahnsinnig hoch, aber nicht "unlogisch".
Wenn ich nicht gekündigt werde, kriege ich 2.500 abzüglich der Prämie von 2.275 - macht
netto wieder 225. Wenn ich gekündigt werde, zahlt mir meine Versicherung die 2.500 und hat
dafür eine Prämie von 2.275 eingestrichen.
{(0,1; 0,9) ; (10.000; 0)} Gruppe 4
E[U(G)] = 0,1 * 10.000^0,5 + 0,9 * 0^0,5 = 10
10 = Ys^0,5
100 = Ys
Ein Betrag von "netto" 100 ist also genau so gut wie mit 10%iger Wahrscheinlichkeit 10.000
zu haben und mit 90%iger Wahrscheinlichkeit leer auszugehen.
Damit beträgt offensitlich die Versicherungsprämie
R = 10.000-100 = 9.900
Das ist wahnsinnig hoch, aber nicht "unlogisch".
Wenn ich nicht gekündigt werde, kriege ich 10.000 abzüglich der Prämie von 9.900 - macht
netto wieder 100. Wenn ich gekündigt werde, zahlt mir meine Versicherung die 10.000 und hat
dafür eine Prämie von 9.900 eingestrichen.
Man erkennt hier nochwas, nehmen wir mal beispielhaft die Gruppe 4:
Die Versicherungsgesellschaft kassiert immer 9.900.
Mit 10%iger Wahrscheinlichkeit muss sie 10.000 bezahlen aber mit 90%iger Wahrscheinlichkeit
darf sie die 9.900 "behalten". Dann sind die erwarteten Leistungen an den
Versicherungsnehmer genau 0,1 * 10.000 = 1.000.
Errechnen wir mal den erwarteten Gewinn aus diesem Geschäft:
µ = 9.900 - 1.000 = 8.900
c) Mit "dem Unternehmen" ist wohl das Versicherungsunternehmen gemeint.
i)
Unter vollständiger Konkurrenz sind die
ökonomischen Gewinne genau 0 (und trotzdem
maximal).
Also gilt dies auch für die Versicherungsgesellschaft.
Die Annahme der symmetrischen Information bedeutet, dass beide Markteilnehmer, also einmal
die Angestellten und einmal die Versicherungsgesellschaft, über exakt die gleichen
relevanten Informationen verfügen.
Die Versicherungsgesellschaft KENNT also die tatsächlichen in diesem konkreten Fall
auftretenden Wahrscheinlichkeiten. In der Realität ist dies natürlich nur äußerst selten der
Fall. Versicherungsaktuare bemühen sich aber darum mit Statistik und multivariaten Verfahren
diese Eintrittswahrscheinlichkeiten möglichst genau zu kennen, während dann die
Versicherungsvertreter mit einem über "Wünsche und Vorstellungen" reden möchten. Zu deutsch:
Sie versuchen, Dir einzureden, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung, welcher Du Dich
gegenübersiehst,
nutzenmäßig schlechter ist, als jene, die Du mit Versicherung
erlangst.
Nichts gegen Versicherungsvertreter. Aber so funktioniert halt der Markt. Es ist ja nicht
so, als wenn die Versicherungsvertreter böse Menschen wären. Der Bauer, der seine Scheune
gegen Feuer versichert hat, wäre sicher vor Vertragsabschluss niemals mit einem Pfeifchen
auf dem Heuboden aufgetaucht, aber wenn man heute "für das gleiche Geld wie damals" eine
bessere Scheune bekommt, ändert er vielleicht seine Meinung.
Moral hazard ist also stets angesagt!
Das ist also der Grund für die ellenlangen Versicherungsverträge.
Gewinn = Prämie - erwartete Auszahlung != 0
Gruppe 1:
X - 0,9*100 = 0, also X = 90
Gruppe 2:
X - 1,0*400 = 0, also X = 400
Gruppe 3:
X - 0,7*2.500 = 0, also X = 1.750
Gruppe 4:
X - 0,9*10.000 = 0, also X = 9.000
Die Angestellten werden also alle (bis auf Gruppe 2) die Versicherung in Anspruch nehmen.
Sie stellen sich Nutzenmäßig nämlich mit Versicherung besser.
Die Angestellten sind bereit in Gruppe 1 genau 99 zu bezahlen, die Versicherung möchte eine Prämie von 90. Das Geschäft kommt also zustande....
ii)
Im Monopolfall sind Gewinne > 0 grundsätzlich möglich.
Ich vermute hier, dass die Versicherung im ersten Fall genau X = 99 verlangen wird und damit einen positiven Gewinn von 9 macht.
Sie schafft es also, die volle Konsumentenrente abzuschöpfen.
Hier bin ich mir mit der Antwort allerdings nicht 100pro sicher.
Grüße,
Mario
