Hallo zusammen,
ich schreibe gerade meine Hausarbeit und komme an einem Punkt selbst einfach nicht weiter. Und zwar geht es um die Interpretation einer Gleichung. Diese lautet: die Ableitung des Grenznutzens < -(1/x)*Ableitung des Nutzens (also =Grenznutzen). Dieser Ausdruck macht doch überhaupt keinen Sinn (nach meinem Verständnis). Würde das nicht heißen, dass wenn wir x=1 setzen, dass U''(x)<-U'(x), also mit Zahlen z.B. dass wenn x um 1 erhöht wird und der Nutzen um 100 steigt, muss dann der Grenznutzen um mehr als 100 sinken und der Grenznutzen von x=2 wäre bereits negativ??? Irgendwo hab ich hier einen Denkfehler. Bitte um Hilfe!!

mako1 schrieb

Hallo zusammen,
ich schreibe gerade meine Hausarbeit und komme an einem Punkt selbst einfach nicht weiter. Und zwar geht es um die Interpretation einer Gleichung. Diese lautet: die Ableitung des Grenznutzens < -(1/x)*Ableitung des Nutzens (also =Grenznutzen). Dieser Ausdruck macht doch überhaupt keinen Sinn (nach meinem Verständnis). Würde das nicht heißen, dass wenn wir x=1 setzen, dass U''(x)<-U'(x), also mit Zahlen z.B. dass wenn x um 1 erhöht wird und der Nutzen um 100 steigt, muss dann der Grenznutzen um mehr als 100 sinken und der Grenznutzen von x=2 wäre bereits negativ??? Irgendwo hab ich hier einen Denkfehler. Bitte um Hilfe!!

Hallo, also du mußt dein Denken umstellen. Grenznutzen ist die Steigungsfunktion vom Nutzen. Wenn der Nutzen eine lineare Funktion ist wie z.B. y = 1/2 * x + 5 dann ist der Grenznutzen, oder die Steigung der Geraden genau 1/2.

Leider ist die Nutzenfunktion meistens nicht linear, also z.B. y = x^(1/2) + 5 (Wurzelfunktion)
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29

Daher wäre die Steigung kein fixer Wert sondern selber eine Funktion:
y' = 1/2 * x ^ (-1/2)

Die Ableitung der Ableitung wäre:
y'' = (-1/4) * x ^ (-3/2)

Nun gibt es in der 11. Klasse Gym das Thema Kurvendiskussion:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

ZITAT:
f sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall I definiert und zweimal differenzierbar ist.

Gilt an einer Stelle x0 in I zugleich

1. f '(x0) = 0 und (Nullgleichsetzung, d.h. der Grenznutzen = 0 setzen, x0 ausrechnen und in f" einfügen!)
2. f ''(x0) > 0,

so hat f an dieser Stelle ein relatives Minimum.

Lies dich durch und schon hast du die Antwort.

In deiner Aufgabe:

f'' (x) < (-1/x) * f' (x)

Das gilt innerhalb welchen Intervalls? Wie ist die Nutzenfunktion f definiert, ist das eine konkave, lineare oder konvexe Funktion?
Hier musst du durch Kurvendiskussion ausprobieren.
Konkave f(x) wäre z.B. f(x) = Wurzel von x + t
Konvexe wäre z.B. f(x) = x² + t
Linear: f(x) = (1/2) * x + t

Es ist keine expizite Funktion vorgegeben, bloß dass es eine zwei mal stetig differenzierbare ist. Inwieweit soll mir das Durchlesen der Grundprinzipien der Kurvendiskussion bei der Aufgabe helfen? Es geht nicht darum, hier das Optimum zu bestimmen (mit Grenznutzen =0), sondern die Entwicklung bis zum Optimum. Dabei soll der Grenznutzen bereits von x=1 sehr stark abnehmen, damit f'' (x) < (-1/x) * f' (x) erfüllt bleibt. Meine Frage bleibt aber: wie soll die Abnahme des Grenznutzens größer sein als der Grenznutzen selbst? Und mit Abnahme des Grenznutzens meine ich die zweite, negative Ableitungs des Nutzens.