So ich hab jetzt nochmal nachgedacht.
Kein Plan, was sich die Kämmerlinge da zusammendichten aber wie man erkennen kann, steigt hier der Gesamtkapitalwert, je später die Investition getätigt wird - zumindest unter dem hier vorgegebenen Entscheidungsspielraum. Die letzte Alternative hat den höchsten C, also ist sie zu bevorzugen!
Theoretisch könnte man den Zeitpunkt
CETERIS PARIBUS so lange nach hinten verschieben, wie C >= 0 ist (wenn die Funktion C(n) monoton fallend ist für n --> unendlich). Aber um es genau zu wissen, sollte man sich der Mathematik bedienen!
Für Ersatzzeitpunkte n >= 3 gilt nämlich, dass der Restwert der alten Anlage definitiv 0€ betragen wird, wie schon zuvor bei n = 2, während sich
CETERIS PARIBUS an der neuen Anlage nichts verändert.
Daraus ergibt sich für den Gesamtkapitalwert, der nunmehr eine Funktion der Jahre n ist, wenn man davon ausgeht, dass
stetig aufgezinst wird, was mathematisch bzw. investitionstheoretisch immer richtig ist, aber im externen (und manchmal auch internen) Rechnungswesen nicht so behandelt wird:
C(n)
0, gesamt = 15.000€ * (1,08^n - 1) / (1,08^n * 0,08) + Cn, neu / 1,08^n
C(n)
0, gesamt = 15.000€ * (1,08^n - 1) / (1,08^n * 0,08) + 9.019,9749652649361775942785905266€ / 1,08^n
Wenn wir mal auf ein bisschen übertriebene Genauigkeit verzichten:
C(n) = 15.000€ * (1,08^n - 1) / (1,08^n * 0,08) + 9.019,97€/1,08^n
Von dieser Funktion ist ein Maximum für n > 3 zu finden. Desweiteren sind die Nullstellen zu berechnen, damit man weiss, ab welchem Zeitpunkt die Investition grade noch nicht unwirtschaftlich ist bzw., wenn 8% die dynamische Rentabilität wiederspiegeln.
Wie geht das nun?
C'(n) = 0 und C''(n) < 0 muss für ein Maximum gelten.
C(n) = 0 muss für die Nullstelle gelten
Die genaue mathematische Analyse zeigt:
C(-0,6406114895579053) = 0
Weil aber -0,64 nicht Element [3; unendlich) ist, ist diese Nullstelle mathematisch zwar definiert, aber unzulässig und ökonomisch erst recht Blödsinn.
Da ich jetzt keine Zeit habe, groß abzuleiten (man glaube mir, dass ich solcherlei Aufgaben seit 5 Jahren rauf und runter rechne!), bediente ich mich eines Hilfmittels:
http://www.thkoehler.de/midnightblue/m_kdb.htm
Man trage dort für das Textfeld bei f(x) das hier ein:
15000 * (1,08^x - 1) / (1,08^x * 0,08) + 9019,97/1,08^x
und lasse sich die Funktion im Intervall von
Xmin = -5; Xmax = 30
Ymin = -10000; Ymax = 350000 anzeigen
Die Grafik kann man ruhig mal auf 800 x 600 Pixel stellen in der Konfiguratio auf der Page, damit das Bild schön groß wird und man erkennt:
Die Ableitung, also die Steigung wird nie 0, da die erste Ableitung eine Asymptote ist und C(n) (hier f(x)) über alle Grenzen wächst.
Die erste Ableitung von C(n) := f(x) lautet übrigens:
15000*ln(1.08)*1.08^x*(1.08^x*0.08)^-1-15000*(1.08^x-1)*ln(1.08)*1.08^x*0.08*(1.08^x*0.08)^-2-901997/100*ln(1.08)*1.08^-x
Von diesem Mega-Ausdruck ist dasjenige x zu finden, für was f'(x) grade gleich 0 wird.
Entweder ich bin total auf'm falschen Dampfer oder der IHK gehört diese Aufgabe gehörig um die Ohren geschlagen - und zwar dann, wenn die IHK behauptet, dass Alternative 3 (Ersatz nach 3 Jahren) nicht die beste Alternative ist!
Es kann, wie die Mathematik zeigt, nur Zeitpunkt n = 3 sein, da die Funktion C(n) über alle Grenzen wächst!
« Zuletzt durch Unbekannt am 02.12.2009 00:29 Uhr bearbeitet. »
