Hallo!
Ein Forum-Neuling braucht dingend Hilfe!
Dienstag schreibe ich meine Klausur und folgende Aufgabe scheint dafür sehr wichtig zu sein:


Leider komme ich nicht auf die Lösungen und die Wege dort hin habe ich nicht!
Vielleicht kann mir jemand helfen... ich wäre sehr dankbar!
Also auf z.B. a) bei Immo 1 komme ich noch, aber Immo 2 muss irgendwie anders gerechnet werden?! (Kann eigentlich nicht sein, daher mache ich bei Immo 1 wahrscheinlich auch bereits etwas falsch!)
Ich denke, es liegt daran, dass ist diesem Fall der Investor auch mit der Immobilie selbst einen Gewinn erzielt?! Aber ist nur eine Vermutung....

Ich bitte um Hilfe! Vielen Dank im Voraus!!!!

Lösungen:

a) 11.760; 13.680; 19.720
b) + 240; + 1.320; - 1.720
c) 8,2% vor Zinsen (0,2% nach Zinsen); 8,825%; 7,312%
d) 1.610,36; 10.068,99; - 9.117,93
e) 8,2%; 8,96%; 7,44%
f) 9,97; 9,88; >10 Jahre

a) b) + c) sind wohl allein zu schaffen

Bei d) muss aus den nachschüssigen monatlichen Überschüssen (Achtung, Zinszahlungen haben da nichts zu suchen) eine nachschüssige Ersatzrente zum Ende des Jahres gebildet werden. Wie man die Ersatzrente bildet habe ich hier im Forum bereits mehrfach vorgerechnet.

Kapitalwert = Ersatzrente*nachschüsse Rentenbarwertformel + abgezinster Wiederverkaufswert - Anschaffungskosten
Rentenbarwertformel ist abgezinste Rentenformel!

e) gleiche Formel wie unter d), aber anstelle der berechneten Ersatzrente nur die Formel der Ersatzrente eintragen. Kapitalwert muss NULL sein und anstelle der 8% p eintragen und nach p mittels Regula Fallsi (Sekantenverfahren, zwei Zinssätze auswählen wo einmal ein positiver Kapitalwert rauskommt und beim anderen Zinssatz ein negativer Kapitalwert sich ergibt, dazwischen liegt der interne Zinsfuß) auflösen. Mit dem Newtonischen Tangentenverfahren ginge es auch, wird aber wegen der Ableitung von Brüchen (Rentenbarwertformel) kompliziert.

f) (Kapitalwert aus d)*1,08^n - Ersatzrentenergebnis*nachschüssiger Rentenformel mit p gleich 8% + Wiederverkaufswert = 0
Logarithmisch nach n auflösen (der Kapitalwert wurde hochgezinst, weil bei Abzinsung der Exponent n negativ wäre und das die Sache nur kompliziert).

Im Forum findest Du genügend Lösungen von ähnlichen Aufgaben (schau meine Beiträge an) !!!

Man kann auch alternativ den jährlichen Kalkulationszinsfuß bei d) in einen monatlichen umrechnen - die Zeit muss dann stets in Monaten angegeben werden.
qmonatlich = qjährlich^(1/12)

Das Verfahren der Regula Falsi oder des Newtonverfahrens erlaubt immer die Bestimmung von genau nur einer einzigen Nullstelle. Grundsätzlich kann die Kapitalwertfunktion natürlich mehrere haben, also mehrere interne Zinsfüße.
Hier sollte aber das Verfahren unproblematisch sein, denn die Kapitalwertfunktion scheint wohl streng monoton fallend zu verlaufen (Normalinvestition mit nur einer Anfangsauszahlung).

Ergebnis des nachschüssigen Rentenbarwerts ist mit den umgewandelten monatlich nachschüssigen Überschüssen (1.010 €) zur nachschüssigen Jahresersatzrente bei Immo II 84.308,15 € !

Nachschüssige Jahresersatzrente = r(m + 0,005p(m+s) = 1.010(12 + 0,005*8(12-1) = 12.564,40

r = monatliche Rate
m = Anzahl der gleichmäßigen unterjährigen Ratenzahlungen pro Intervall
p = Zinsatz p.a. in %
s = Schüssigkeit (s= 1 ist vorschüssig, s = 0 ist in der Mitte des Zahlungszeitraums, s = -1 ist nachschüssig)

Rechne ich die 8% p.a. auf einem monatlichen Zinsfuß (0,643403%) um und nimm die 10 Jahre als 120 Monate, dann erhalte ich als Rentenbarwert nur 84.266,71 €

Wo ist der Haken?

Danke erstmal für eure Hilfe!

Allerdings habe ich, wie auch schon im ersten Post erwähnt, bereits bei a) mein erstes Problem.
Wenn ich die montl. Kosten (180€) auf 1 Jahr hoch rechne + Zinsen auf Immo 1 (120.000*0,08 = 9600€), komme ich auf die 11.760€ aus der Lösung. Bei Immo 2 und Immo 3 klappt es auf diesem Wege leider nicht mehr....

Bei b) habe ich ähnliche Probleme....

Zinsknecht schrieb

Ergebnis des nachschüssigen Rentenbarwerts ist mit den umgewandelten monatlich nachschüssigen Überschüssen (1.010 €) zur nachschüssigen Jahresersatzrente bei Immo II 84.308,15 € !

Nachschüssige Jahresersatzrente = r(m + 0,005p(m+s) = 1.010(12 + 0,005*8(12-1) = 12.564,40

r = monatliche Rate
m = Anzahl der gleichmäßigen unterjährigen Ratenzahlungen pro Intervall
p = Zinsatz p.a. in %
s = Schüssigkeit (s= 1 ist vorschüssig, s = 0 ist in der Mitte des Zahlungszeitraums, s = -1 ist nachschüssig)

Das mit der Schüssigkeit s kommt mir wie eine Approximation vor!
Die nachschüssige jährliche Ersatzrente, die Du berechnen möchtest muss doch identisch sein mit demjenigen Endwert, der sich ergibt, wenn man die monatlich nachschüssigen Zahlungssalden verzinseszinst, wobei sich die erste Zahlung am längsten verzinst und die letzte Zahlung gar nicht mehr (weil nachschüssig).

Zitat

Rechne ich die 8% p.a. auf einem monatlichen Zinsfuß (0,643403%) um und nimm die 10 Jahre als 120 Monate, dann erhalte ich als Rentenbarwert nur 84.266,71 €

Und genau das muss stimmen (ich sehe mal von Rechenfehlern grade ab).
Betrachte einen Investor, der 1 Euro irgendwann unterjährig einzahlt, meinetwegen heute am 21.06.
So hat er am 21.06.2011 genau 1 Jahr lang mit dem Jahreszins sein Geld angelegt. Da aber Zinseszinsen gewährt werden, hat doch die Funktion K = 1€ * q^x einen kurvenförmigen Verlauf. Ich vermute daher, dass in deiner Formel irgendwas "linearisiert" wird. Kann man machen, würde ich aber nicht, weil es m.M. nach deutlich einfacher ist einen Jahreszins in einen Monatszins umzurechnen.
Wer am 01.01 Geld anlegt, verzinst 12 Monate mit dem Monatszins und 1 Jahr mit dem Jahreszins.
Es muss daher qmonatlich^12 = qjährlich gelten.

Zitat

Wo ist der Haken?

Ich würde einfach nicht approximieren.

Der Fehler liegt am Überspringen vom Jahresende, rein optisch liegt z. B. zwischen dem Anlegedatum 1.07.09 und 31.06.10 ein Jahr. Nach deutscher und in den meisten europäischen Ländern werden die Zinsen zum 31.12. (Jahresende) gutgeschrieben. In den Vereinigten Staaten (USA) wird sogar nur der angegebene Zins durch 12 dividiert!

Bei uns werden z. B. 100€ gleichmäßig getätigte, monatliche, vorschüssige Zahlungen wie folgt verrechnet:
Erste Zahlung im Januar liegt 12/12, die zweite im Feb. 11/12 .... die letzte im Dez. 1/12. Daraus ergibt sich die Summenformel für unterjährige Einzahlungen mit z.B. p=10%: Kapital am Jahresende = 100€*12(1 + (10%/100%)*13/24)= 1.265 €.

Bei nachschüssiger Zahlung erhält man als Summenformel: Kapital am Jahresende = 100€*12(1 + (10%/100%)*11/24) = 1.255 €

(Summenformel Vorschüssig + Summenformel Nachschüssig)/2 = Summenformel für in der Mitte des Zahlungszeitraums= 100€*12(1 + (10%/100%)*12/24) = 1.260€

Allgemein: Kapital am Ende des Jahres (Ersatzrente) = r*m(1 + 0,005p(m+s)

r = regelmäßige unterjährige Zahlungen
m= Anzahl der regelmäßigen unterjährigen Zahlungen (z.B. Tag, Monat, Quartal, Halbjahr)
p = Zinssatz p.a. in %
s = Schüssigkeit (Vorschüssig s=1; Nachschüssig s= -1; in der Mitte s=0)

Der Unterschied zwischen beiden Berechnungsarten steigt mit der Laufzeit!

Natürlich, der Unterschied steigt mit der Laufzeit.

Aber wenn Du vom deutschen System ausgehst bei nachschüssiger Verzinsung (Einzahlung am Monatsende), dann bilde ich einfach den unterjährigen "konformen" Zins und bin fertig. Dann kann ich problemlos die Rentenendwertfomel ("Summenformel") anwenden und gehe dabei von nachschüssigen Zahlungen am Monatsende aus. Das ist meiner Meinung nach ziemlich realistisch. Sehr viele Zahlungen fallen am Monatsende an (und auch häufig vorschüssig am Monatsanfang, wie z.B. Löhne).

Ich sehe grade, dass Du jeweils von der Monatsmitte ausgehst. In vielen (wenn nicht gar den meisten) Aufgaben zur Investitionsrechnung jedoch wird, wenn nichts anderes gesagt, häufig davon ausgegangen, dass die Zahlungen
- nachschüssig erfolgen
- und häufig vereinfachend zinslos bis zum Jahresende thesauriert werden (grobe Vereinfachung/Verfälschung, von der wir beide ja grade nicht ausgehen)


Da muss ich nichts approximieren, zumal die Berechnung mit qmonatlich = qjährlich^(1/12) doch sehr anschaulich ist meiner Meinung nach. Man muss eben nur darauf achten, dass 10 jahre eben 120 Monate sind.

Wenn ich von Zahlungen zur Monatsmitte ausgehe, kann ich theoretisch auch dafür einen konformen Zins bilden. Ob das aber so wirklich zielführend ist in der Praxis (und auch in der Klausur), bezweifel ich, denn bei Investitionsentscheidungen wird es sicher nicht bis auf die letzten 100€, 200€, 300€ ankommen.

Allerdings ist das hier:

Zitat

Der Fehler liegt am Überspringen vom Jahresende, rein optisch liegt z. B. zwischen dem Anlegedatum 1.07.09 und 31.06.10 ein Jahr. Nach deutscher und in den meisten europäischen Ländern werden die Zinsen zum 31.12. (Jahresende) gutgeschrieben.

interessant. Die Rentenendwertformel berücksichtigt ja grade ständige unterjährige Mitverzinsung (Zinsen werden laufend gutgeschrieben). Das meinst Du, ist falsch, weil die Banken angeblich nicht so vorgehen?

Das wäre allerdings merkwürdig !?

Für einen Zins von jährlich p = 10% erhalte ich qjährlich = 1,1
Also: qmonatlich = 1,1^(1/12)

Wenn ich naschüssig jeden Monat 100€ einzahle komme ich dann auf einen Endwert am Jahresende von:
EWnach = 100€ * [ ( qmonatlich^12 - 1 ) / ( qmonatlich - 1 ) ]
EWnach = 100€ * 12,54053661 = 1.254,053661€

Und vorschüssig haben wir auch n = 12 Zahlungen, wobei sich die letzte Zahlung oder besser gesagt: die letzte thesaurierte Summe, die bereits die vorherigen unterjährigen Zinseszinsen enthält, noch 1 Monat lang (nämlich den ganzen Dezember) mitverzinst:

Daraus folgt:

EWvor = 100€ * 12,54053661 * qmonatlich
EWvor = 100€ * 12,54053661 * 1,00797414 = 100€ * = 100€ * 12,6405366 = 1.264,05366€

Bilde ich den Durchschnitt EWmittel = 0,5 * (EWvor + EWnach) erhalte ich EWmittel = 1.259,053635€,
was kaum abweicht zu 1260€

Das sagst Du geht beides nicht, weil die Bank anders verzinst?

Hallo Jungs und Mädels, habe mir alle Unterlagen über Investition und Wirtschaftsmathe von der REFA-Akademie und FH-Kempten rausgekramt und komme zu folgendem Ergebnis:

REFA-Akademie, Dozent Prof. Werner Wasgindt von der FH Reutlingen für das Fach Investition. Bei ihm wurden Harvard-Fälle nach US-Muster gerechnet, d.h. Jahreszins/12. Europäische Aufgaben nach konformen Zinsatz (Umrechnung vom Zins p.a. in monatlichem Zins).

Grundstudium an der FH-Kempten bei Prof. König und Dr. Frankowski, Taggenaue Angaben (TT.MM.JJJJ) in den Aufgabenstellungen im Teilbereich (50%) Wirtschaftsmathematik. Hier musste mit der Ersatzrente gerechnet werden, ansonsten Null Punkte!

Hauptstudium an der FH im Fach Investition, es kamen nur Jahreszalungen vor!

Fazit, ohne genauen Datumsverlauf kann mit dem konformen monatlichen Zins gerechnet werden, aber bei Klausuren ist die Ersatzrentenbildung auch nicht Fehlerhaft, sofern man selber einen Datumsfixpunkt für die Berechnung (unter Annahme, die Investition beginnt am 01.01.XXXX) hinzufügt!

Nehme stark an, das damit der Glaubensstreit zwischen Ersatzrentenbildung und konformen Zinssatz beendet ist!

Interessant, was Du so herausgefunden hast. Stimmt: der Glaubensstreit dürfte beendet sein, es ist nach wie vor Geschmackssache, wenn man einmal von verschiedenen Zinssystemen bei den Banken absieht.

Allerdings finde ich das hier:

Zinsknecht schrieb

Grundstudium an der FH-Kempten bei Prof. König und Dr. Frankowski, Taggenaue Angaben (TT.MM.JJJJ) in den Aufgabenstellungen im Teilbereich (50%) Wirtschaftsmathematik. Hier musste mit der Ersatzrente gerechnet werden, ansonsten Null Punkte!

schlicht und ergreifend bekloppt.

Gehirn aus, nur EIN EINZIGER Lösungsweg wird akzeptiert. Das kann nicht Sinn und Zweck eines Studiums sein! Freiheitliches Denken wird komplett ausgeschaltet. Scheinbar gilt "Der Wind der Freiheit weht.", das Motto der Stanford University (ja, die haben ein Deutsches Motto, auch heute noch!) nicht mehr Finde ich nicht in Ordnung!
Wie unsere Diskussion hier zeigt, sind mehrere Varianten möglich und sie haben alle ihre Berechtigung. Wichtig ist eben immer, dass natürlich der Zweck die Rechnung bestimmt und man schon ungefähr wissen sollte, warum die Formel so funktioniert, wie sie eben funktioniert.