Hallo Zusammen,

stehe gerade auf dem Schlauch

Wie muss ich die Formel umstellen wenn ich nicht von jährlichen Berechnung dr Ein und Auszahlungen ausgehe sondern von monatlichen.

geg:
Kalkulationszins i =8% Jährlich

Formel ist ja so bei jährlicher Berechnung

Zahl - Zahl usw.
(1+i) (1+i )²

wenn ich jetzt aber nicht mehr jährlich sondern monatlich das ganze darstellen soll über insgesamt 36 Monate...
Wie muss ich die Formel umbauen so?

Zahl - Zahl usw.
(1+(i:12)) (1+(i:12 ))²

Danke für Eure Hilfe
gruß
George

Hi George!

Du rechnest:


K0= Kn/(1+i/m)**m*n

Bye
-John

Ich weiss grade nicht, ob die Formel von John Robie mit dem m und dem n richtig ist (wirkt grade auf mich etwas unübersichtlich, sorry), fakt ist aber, dass bei stetiger Verzinsung folgendes passieren muss:

Wenn ich ein i = 8% p.a. habe, wobei sich ein Jahr in 12 Monate gliedert und auch unterjährig korrekt verzinseszinst wird (steige Verzinsung), dann muss doch offensichtlich für den Monatszinsfaktor qMon (= iMon + 1) gelten:

qMon^12 = (i+1) = (0,08+1) = 1,08

Das bedeutet doch nichts weiter, als das ich das 1,08-fache eines in t=0 (am Anfang des ersten Monats des Jahres) eingezahlten Betrages haben muss, wenn das Jahr á 12 Monate verstrichen ist. Ich zinse eben 12 Monate lang auf - allerdings mit einem geringeren Zinsfaktor, den ich hier qMon genannt habe. Ziehst du dann die zwölfte Wurzel aus 1,08, also aus deinem Jahreszinsfaktor, hast du den stetigen Monatszinsfaktor.

Hier:

1,0064340301100034548339171792873, also rund: 0,643%

Hallo flying Horst!

Wenn Du in "meine" Formel als Zinssatz 8 % einsetzt, als m 12 (Monate), dann ergibt sich, dass die nachschüssige Zahlung des ersten Jahres mit 1,083 abgezinst wird, die des zweiten Jahres mit 1,172 was m. E. korrekt ist.

Bye
-John

Hi,

danke für Eure Hilfe.

aber reicht es nicht wenn ich die
8% einfach durch 12 teile?
1/(1+0,08/12) = Abzinsungsfaktor für 8% / 12 Monate
=0,9933774834

Jetzt KN X Abzinsungsfaktor = K0
Bsp 10000€ x =0,9933774834
K0 = 9933,77€

?
Danke

Hi,

danke für Eure Hilfe.

aber reicht es nicht wenn ich die
8% einfach durch 12 teile?

Monat 1

1/(1+0,08/12) = Abzinsungsfaktor für 8% / 12 Monate
=0,9933774834

Jetzt KN X Abzinsungsfaktor = K0
Bsp 10000€ x =0,9933774834
K0 = 9933,77€




Monat 2

1/(1+0,08/12)² = Abzinsungsfaktor für 8% / 12 Monate
=0,9867988246

Jetzt KN X Abzinsungsfaktor = K0
Bsp 10000€ x =0,9933774834
K0 = 99867,99

usw.

?


Danke

Hi George!

Dann musst Du halt Monat für Monat berechnen. Falls Dir das nicht zu mühsam ist ...

Ich kenne halt die Problemstellung nicht.

Bye
-John

John_Robie schrieb

Hallo flying Horst!

Wenn Du in "meine" Formel als Zinssatz 8 % einsetzt, als m 12 (Monate), dann ergibt sich, dass die nachschüssige Zahlung des ersten Jahres mit 1,083 abgezinst wird, die des zweiten Jahres mit 1,172 was m. E. korrekt ist.

Bye
-John

Wenn Du mit 1,083 im ersten Jahr abzinst, heißt das ja, dass Du deinen Endwert am Ende des zwölften Monats durch 1,083 dividierst bzw. mit dem Kehrwert von 1,083 multiplizierst, wenn ich Dich richtig verstanden habe. Somit kämest du auf einen Abzinsungsfaktor von 1/1,083 = 0,92336...

Ich kam auf 1/1,006434... = 0,99360...

Das ist ein großer Unterschied! Wie ist der bloß zu erklären?

Lasst mich mal versuchen, wie ich drauf komme, wenn ich von george_sdl's Methode ausgehe (die Methode mit dem dividieren):

george_sdls Methode ist m.M nach nur für geringe Zinssätze und kleinere Zeiträume zu gebrauchen. Du tust ja so, als wenn die ureigentliche Zinseszinsformel K_n = K_0 * q^n nur für ganzzahlige n, also für ganzzahlige Jahre zu gebrauchen ist und Du dann zwischen 2 Jahren einen linearen Verlauf unterstellst.

Das bedeutet geometrisch, dass Du für jedes ganzahlige n bei einem gegebenem q einen Punkt im 2D-Koordinatensystem einzeichnest (n auf der Abszisse, K_n auf der Ordinate) und anschließend diese Punkte paarweise mit einem Lineal, also exakt mit einer graden Linie verbindest, obwohl die Punkte eigentlich "glatt", dss heißt mit einer stetig verlaufenden Kurvenlinie zu verbinden wären.
Dadurch überschätzt Du grundsätzlich deine Endwerte, was auch zu einer überschätzung der Barwerte K_0 (bzw. des Kapitalwertes) führt, weil die verbindungsstrecke ja immer oberhalb der eigentlichen Kurve liegt (die Funktion ist damit streng konvex). Die Steigung dieser Verbindungsstrecke zwischen 2 benachbarten Jahren ist entspricht dem monatlichen Zins, wenn eben 2 beachbarte Jahreszeitpunkte in 12 Monate aufgeteilt werden!
i = [1,08^(n+1) - 1,08^n] / 12
Man hätte nach dieser Formel also immer unterschiedliche, angenäherte Monatszinssätze. Weil die die Ableitung der Funktion K_n = K_0 * q^n nach den Jahren eben genau K_n´ = K_0 * ln (q) * q^n ist und der Ansteig der Steigung eben K_n´´ = K_0 * ln(q) * ln(q) * q^n = K_0 * ln²(q) * q^n > 0 ist, sind die approximativen Monatszinssätze auch ansteigend.

Was wäre denn, wenn wir mal 100€ 1,5 Jahre lang aufzinsen würden?
Dann setzt man offensichtlich n = 1,5 und käme auf:
K_1,5 = 100€ * 1,08^(1,5) = 112,24€.

Selbiges muss doch auch rauskommen, wenn ich eben 12 Monate + 6 Monate = 18 Monate mit meinem Monatszinsfaktor berechne:
K_18 = 100€ * 1,0064340301100034548339171792873^(18) = 112,24€

Mit dieser Methode kommt man auf den EXAKTEN Wert.

Wenn ich aber die Divisionsmethode (unterjährige Linearisierung) korrekt anwende und auf einen Monatszins (im zweiten Jahr) von i = [1,08^(1+1) - 1,08^1] / 12 = 0,0072 komme, bedeutet das anschaulich: Zeichne die LINEARE Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (1|108) und (2|116,64). Der Anstieg dieser Strecke ist der unterstellte Zins von 0,0072% pro Monat. Wie ich ja bereits begründet habe, ist der echte Zins nur 0,0064% (siehe oben). Das führt zu der oben angesprochenen Überschätzung, wenn man unterjährig linearisiert und zu einem Kapital nach 18 Monaten von:
108€ + (6 * 0,0072) 108€ =112,67€. Wir haben uns also leicht verschätzt. Denn der richtige Wert liegt bei 112,24€.

Wenn man also nur näherungsweise rechnen will, was ich in Zeiten von Rechnern im Gigahertzbereich nicht empfehle, geht das schon ganz gut. Wenn die Näherung gut sein soll, müssen jeweils 2 benachbarte Endwerte bekannt sein. Wie ist aber nun abzuzinsen auf den Zeitpunkt t=0

Mit der m.M. nach korrekten stetigen verzinsung stellt man leicht fest, dass der Barwert von 112,24€ nach 1,5 Jahren bei dem entsprechendem Zins eben genau 100€ beträgt.

Wende ich jetzt die lineare Näherung an muss ich die Knicke im Graphen, die ja beim Einzeichnen der linearen, abschnittsweise definierten Näherungsfunktion entstehen, eigentlich berücksichtigen.

Was passiert wenn ich das nicht tue?
Nun, zwischen dem Zeitpunkt n = 1 und n = 2 ist das Kapital bekanntlich von 108€ auf 108*1,08 = 116,64€ gestiegen, was einem durchschnittlichen "linearisiertem" Zinssatz von 0,0072 entspricht. Wenn ich jetzt von 108€ bei n = 1 genau 12 Monate zurückreche und den Knick somit NICHT berücksichtige, dann komme ich bei n = 0 auf ein Kapital von:
K_0 = 108€ - 12*0,0072*108€ = 98,67€ OHNE Knickberücksichtigung.

Was sagt uns das?

Besser stetig berechnen.

@ John_Robie:
Woher hast Du Deine Formel?

Hallo flying Horst!

Die Formel habe ich im Kopf, damit rechnet man gemeinhin in der Investitionsrechnung. Hab Sie nach einiger Suche z. B. auch hier gefunden: : fh-stralsund.de/dokumentenverwaltung/dokumanagement//41/copy44475455c72c2.pdf

Ich würde nicht stetig rechnen, wenn die Zinszahlungen nicht stetig erfolgen, sondern z. B. monatlich oder quartalsweise. Die Einzahlungen bei einer Investition fallen innerhalb des jeweiligen Zeitpunktes ja auch nicht stetig an, so dass man - gleich wie man rechnet - nur eine Näherungslösung erhält.

Mathematiker mögen das anders sehen.

Ganz andere Frage an den Moderator: Hab hier in ein Reklamefenster am rechten Rand, das weit in den Text hineinragt. Muss das so sein?

Freundliche Grüße
-John

Danke Flying Horst,

habe es glaube verstanden

1/
12 Wurzel(1+0,08 )
=0,993607102

Bsp
KN 108 *0,993607102^12
K0 = 1000

oder
100€ * 1,08^(3) = 125,97 €
125,97 *0,993607102^36
=99,999.... ca. 100 €

John_Robie schrieb

[...]Hab Sie nach einiger Suche z. B. auch hier gefunden: fh-stralsund.de/dokumentenverwaltung/dokumanagement//41/copy44475455c72c2.pdf

Ich würde nicht stetig rechnen, wenn die Zinszahlungen nicht stetig erfolgen, sondern z. B. monatlich oder quartalsweise.

Zinszahlungen werden aber stetig berechnet. Alles andere wäre falsch und nur eine Näherung.

Zitat

Die Einzahlungen bei einer Investition fallen innerhalb des jeweiligen Zeitpunktes ja auch nicht stetig an, so dass man - gleich wie man rechnet - nur eine Näherungslösung erhält.

Ehhm.. Warum sollten denn auch Zahlungen, die bei einem Investitionsprojekt berücksichtigt werden, stetig anfallen? Zahlungen fallen zu Zeitpunkten an. Aber die Funktion K_n = K_o * q^n ist für n Element der reellen Zahlen auf dem ganzen Definitionsbereich stetig. Völlig egal, ob ich jede Nanosekunde eine Zahlungsbewegung habe oder nicht.

Beispiel:
Der Finanzcheffe hat errechnet, dass ein Investitionsprojekt nach der Anfangsauszahlung am 31.12.2010 (Ende des ersten Jahres) im nächsten Jahr kontinuierlich jeweils am Monatsende 500€ Rückflüsse abwirft. Und im darauffolgenden Jahr jeweils 300€ pro Monat.
Häufig wird zur Vereinfachung angenommen, dass am Ende des ersten Jahres nach der Investition, also quasi am 31.12.2011 eine nachschüssige Einzahlung von 12*500€ = 6.000€ geleistet wird. Analog am 31.12.2012 12*300€ = 3.600€. Und dann kann man ganz normal mit dem Jahreszins diskontieren.

Wenn ich aber penibel bin, muss ich meine Methode anwenden, die in dem von Dir zitierten Skript als "konformer unterjährlicher Jahreszins k" aufgeführt wurde.

Zitat

Mathematiker mögen das anders sehen.

Anders und dafür 100% genau. Obwohl auch die Genauigkeit in der Praxis so weit ich weiss nie ganz exakt eingehalten wird. Grund: das Jahr hat 360 Tage, der Monat immer 30 Tage.

Zitat

Ganz andere Frage an den Moderator: Hab hier in ein Reklamefenster am rechten Rand, das weit in den Text hineinragt. Muss das so sein?

Freundliche Grüße
-John

Gott sei's gelobt: ich habe Adblock!

Das mit der Werbung ist Sache des Admins, da kann ich wenig ausrichten. Sorry. Mich hat's ohne Adblock auch genervt.

Viele Grüße,
flying Horst