Das erste mal nach dem Studium konnte ich mit einer statistischen Formel und meinem Wissen aus der Statistikvorlesung etwas ausrechnen, was ich auch unmittelbar in der Praxis verwenden, ja so gar vermarkten konnte. Da ich selbst noch so begeistert davon bin, möchte ich hier das Problem und den Lösungsweg darstellen:

Die Aufgabe:

Ich wollte ermitteln, wie viele der gelisteten Berater der KfW Bank, welche nicht nur Existenzgründerberatung mit Fördermitteln (z.B.: Gründercoaching Deutschland) der KfW durchführen, diese KfW Mittel missbrauchen und somit dubiose Geschäfte betreiben.

Vorbereitung:
Um eine möglichst genaue Aussage treffen zu können, haben wir von der Redaktion des Gründerlexikons einer Stichprobe von 204 Beratern kontaktiert, um herauszufinden, wie die Berater reagieren, wenn wir ihnen direkt einen dubiosen Deal vorschlagen. So haben wir uns als Existenzgründer ausgegeben und den Vorschlag gebracht, die zu beantragenden Fördermittel nicht formgerecht zu verwenden, sondern fein säuberlich im Verhältnis 50 zu 50 zwischen uns als Gründer und dem Berater aufzuteilen. Eine Beratung würde tatsächlich gar nicht stattfinden. Die Ergebnisse aus dieser Umfrage haben wir in einem Artikel im Gründerlexikon (Artikel hier lesen) dokumentiert.

Zur Berechnung von zur Lösung:
Ich hatte gelernt, dass man über das Schätzverfahren der Koinzidenzintervalle (Intervallschätzung) bei einer nicht allzu kleinen Stichprobe auf ein Ereignis der Grundgesamtheit schätzen kann. Und zwar geht das wie folgt:

Zunächst stelle ich die gegebenen Werte dar:

N = 9.314 Berater (alle Berater, die im Bereich Existenzgründung beraten und somit im Rahmen des Gründercoaching Deutschland beraten können. N = die Grundgesamtheit, laut KfW Bank vom 20. September 2012)
pi = der Anteil der dubiosen Berater
x = dubiose Berater laut Stichprobe
p = der Anteil der Stichprobe an der Grundgesamtheit, also x/pi = 54/204

Gesuch:
das 95 %-ige Konferenzintervall (KI)

Lösung:
Alpha = A (aus Mangel an Geeignetenzeichen Ihrem Forum, verwende ich für das griechische Alpha den großen Buchstaben A) somit ist

1-A = 100-95
A = 0,05

Z = 1- A/2
Z = 0,975

Mit diesem Wert sehe ich in der Verteilungsfunktion F(z) der Standardnormalverteilung nach, die mir vorliegt und kann für F(z) gleich 0,975
z mit 1,96 ablesen.

Z kann ich nun wieder in die Koinzidenzgleichung einsetzen, um die Intervalle zu ermitteln.

Prob [p-zWurzel aus (p(1-p)/n) kleiner gleich pi kleiner gleich p + zWurzel aus (p(1-p)/n)] = 1-A

sämtliche Werte eingesetzt:

Prob [0,2044 kleiner gleich pi kleiner gleich 0,3256] = 95%

Aussage:

Mit 95 prozentiger Sicherheit kann man sagen, in der Grundgesamtheit existieren etwa zwischen 20,4 % und 32,6 % dubiose KfW-Berater. Somit hatten wir den oben genannten Artikel mit einem Viertel (25 %) gar nicht so unrecht.

Über dieses Ergebnis entrüstet sich natürlich einige KfW-Berater, es ist aber aus mathematischer Sicht einer Tatsache, welche nachgerechnet werden kann.