Hallo,

ich hoffe es kennt sich jemand aus mit Formelherleitungen, denn ich habe bei zwei folgenden Aufgaben Probleme :

1. Leiten sie die Formel zur Berechnung des Barwertes einer wachsenden ewigen Rente mathematisch her.

2. Leiten sie eine Formel zur Berechnung des Barwertes einer schwankenden ewigen Rente her. Die Funktion, welche das Schwankungsverhalten der Cashflows abbildet, sei mit CF(t)=CF*sin(t) gegeben.

Danke schonmal im Voraus,

1) Unter wachsender Rente soll wohl eine dynamisierte Rente verstanden werden?


Co = r*( q^n - d^n)/(q-d)*q^n geht n gegen unendlich ergibt es:


Co = r* 1/(q-d)


Co = der Barwert zum Zeitpunkt Null

r= die jährliche, nachschüssige Rentenzahlung

q = 1+ p in %/100%

p = Zinssatz in %

d = 1 + Dynamiksatz in %/ 100%

2) Da muss ich meine elektrotechnischen Kenntnisse aktivieren!

Die effektive Spannung eines Wechselstroms, der bekannterweise Sinusförmig verläuft wird einer Gleichstromspannung ebenbürdig! U (Gleichstrom) = U (Wechselstrom Spitze/ Wurzel aus 2) !

Hallo Zinsknecht,

ist zwar vielleicht schon etwas her, aber ich bin auf deinen post gestoßen und habe noch eine frage zu teil 1.

ich habe die formel folgendermaßen umgestellt:

Co = r/(q-d) - (r*d^n)/(q-d)*q^n

leider stehe ich jetzt etwas auf dem schlauch, um zum ergebnis Co = r* 1/(q-d) zukommen. dazu müsste ja der rechte bruch einfach 0 werden.
da aber sowohl im zähler als auch im nenner das n im exponenten gegen unendlich strebt, verstehe ich nicht ganz, wie der bruch 0 wird. könntest du diesen schritt eventuell noch mal kurz erläutern?

vielen dank!

Deine Formelumstellung kann ich leider nicht nachvollziehen!

Gehe von der normalen Barwert-Rentenformel aus:

Co =r* (q^n -1)/(q-1)*q^n lasse n gegen Unendlich gehen, dann steht im Zähler Unendlich -1, das bleibt Unendlich. Im Nenner steht /(q -1)* Unendlich. Unendlich kürzt sich im Zähler und Nenner raus. Übrig bleibt Co= r*(1/(q-1)

Probe im Taschenrechner mit der normalen Barwert-Rentenformel Co = r*(q^n -1)/(q-1)*q^n und gib zur Kontrolle für n = 999 Jahre, für r = 100, für p = 10% (q= 1,1) ein. Obige und untere Formel liefern das selbe Ergebnis.

Und jetzt mit der Dynamik: Im Zähler steht r*(q^n -d^n) d.h. Unendlich minus Unendlich, das wird nicht zu Null, es bleibt unendlich. Im Nenner steht (q-d)*q^n . Es wird nun Unendlich durch Unendlich geteilt, das gibt nun 1. übrig bleibt r*1/(q-d). Probiere beide Formeln mit r = 100, 10% Zins, 5% Dynamik und n = 999 Jahre Laufzeit nachschüssig aus. Beide mal erhälst Du als Ergebnis 2.000

Mach Dir mal ein paar Gedanken wie man eine ewige nachschüssige Barwert-Rente berechnet, wenn der Zinsfuß gleich der jährlichen Dynamik ist.

Möchte gerne wissen wer drauf kommt, der Herr und Ich wir wissen es!!!

Hallo Zinsknecht,

Danke für die Antwort. Unten noch einige Fragen.

Ich würde mich freuen, wenn du noch mal weiterhelfen kannst.

Vielen Dank!

Zinsknecht schrieb

Deine Formelumstellung kann ich leider nicht nachvollziehen!

ich habe die Formel einfach folgendermaßen umgestellt:

Co = r* (q^n - d^n) / (q-d)*q^n

Co = r* ((q^n) / (q-d)*q^n) - ((d^n) / (q-d)*q^n) (Bruch aufteilen)

Co = r* (1 / (q-d)) - ((d^n) / (q-d)*q^n) (beim linken Bruch q^n kürzen)

Co = (r / (q-d)) - (r * (d^n) / (q-d)*q^n)

Laut Probe müsste die Umstellung richtig sein, im Prinzip müsste man doch hier nur zeigen, dass der rechte Bruch (r * (d^n) / (q-d)*q^n) = 0 wird, und man hätte die Formel hergeleitet. An dieser Stelle hakt es jedoch, hier werden doch sowohl Zähler als auch Nenner unendlich, oder??




Gehe von der normalen Barwert-Rentenformel aus:

Co =r* (q^n -1)/(q-1)*q^n lasse n gegen Unendlich gehen, dann steht im Zähler Unendlich -1, das bleibt Unendlich. Im Nenner steht /(q -1)* Unendlich. Unendlich kürzt sich im Zähler und Nenner raus. Übrig bleibt Co= r*(1/(q-1)

deine Rechnung im Zähler verstehe ich, aber wird hier nicht der ganze Nenner unendlich, da es ein Produkt ist?

Probe im Taschenrechner mit der normalen Barwert-Rentenformel Co = r*(q^n -1)/(q-1)*q^n und gib zur Kontrolle für n = 999 Jahre, für r = 100, für p = 10% (q= 1,1) ein. Obige und untere Formel liefern das selbe Ergebnis.

Und jetzt mit der Dynamik: Im Zähler steht r*(q^n -d^n) d.h. Unendlich minus Unendlich, das wird nicht zu Null, es bleibt unendlich. Im Nenner steht (q-d)*q^n . Es wird nun Unendlich durch Unendlich geteilt, das gibt nun 1. übrig bleibt r*1/(q-d).

hier habe ich wieder das gleiche Problem wie oben, da im Nenner ein Produkt steht. Eigentlich müsste doch auch hier wieder der gesamte Nenner unendlich werden, wenn dort steht (q-d) * unendlich ?? Und darüber hinaus: unendlich : unendlich ist doch meines Wissens nach garnicht definiert? Müsste hier nicht L'hospital angewandt werden (wobei auch das hier wohl nicht weiterhilft, da die ableitungen weiterhin dazu führen, dass im exponenten n-1 steht, was weiterhin unendlich bleiben würde....)

Probiere beide Formeln mit r = 100, 10% Zins, 5% Dynamik und n = 999 Jahre Laufzeit nachschüssig aus. Beide mal erhälst Du als Ergebnis 2.000



Mach Dir mal ein paar Gedanken wie man eine ewige nachschüssige Barwert-Rente berechnet, wenn der Zinsfuß gleich der jährlichen Dynamik ist.

Möchte gerne wissen wer drauf kommt, der Herr und Ich wir wissen es!!!

q^n/q^n = q^(n-n) = q^0 = 1 (jede Zahl hoch Null = 1)

rechter Bruch: - r*d^n/((q-d)*q^n n gegen Unendlich gibt Unendlich/Unendlich = Null bei unterschiedlichen Basen, ansonsten wie oben Potenzregel : Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert in dem man deren Exponenten subtrahiert

Zinsknecht schrieb

q^n/q^n = q^(n-n) = q^0 = 1 (jede Zahl hoch Null = 1)

rechter Bruch: - r*d^n/((q-d)*q^n n gegen Unendlich gibt Unendlich/Unendlich = Null bei unterschiedlichen Basen, ansonsten wie oben Potenzregel : Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert in dem man deren Exponenten subtrahiert

Danke für die Antwort!
Könntest du das noch mal anhand meines Posts verdeutlichen / veranschaulichen?
Um ehrlich zu sein blicke ich gerade nicht ganz durch, was sich in deinem Post worauf bezieht.... Danke!

Der rechte Bruch wird Null, weil Zählerwert (d^n) Unendlich und Nennerwert (q^n) Unendlich unterschiedliche Basen haben. Da gilt Unentlich geteilt durch Unendlich ist gleich Null!

Haben Zählerwert (q^n) Unendlich und Nennerwert (q^n) Unendlich die selbe Basis, so kann ich sie kürzen. Beweis ist die Potenzenregel. In diesem Fall ist Unendlich geteilt durch Unendlich gleich Eins!