Dynamische Grenzwertrechnung: Der Ersatz am Krötensalto…

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Wer die grundlegenden Definitionen verstanden und die üblichen statischen und dynamischen Verfahren ausreichend geübt hat, ist für Prüfungen aller Art gut vorbereitet. Doch Überraschungen sind immer noch möglich: zum Beispiel bei der dynamischen Grenzwertrechnung. Diese ist ein besonderer Leckerbissen, denn es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Konzepte, die einander teilweise widersprechen. Wer immer damit zu tun hat, braucht also solide Grundkenntnisse und viel Transferwissen. Sonst geht das nämlich in die Hose. Schauen wir uns mal ein Beispiel dafür an:

 
t At Et
 
0 48.000,00 €  
 
1 12.000,00 € 30.000,00 €
2 10.000,00 € 34.000,00 €
3 10.000,00 € 36.000,00 €
4 10.000,00 € 38.000,00 €
5 12.000,00 € 37.000,00 €
6 14.000,00 € 31.000,00 €
 
  116.000,00 € 206.000,00 €

Ein Unternehmen investiert 48.000 Euro in eine technische Anlage, deren steuerliche wie technische Nutzungszeit sechs Jahre betrage. Die Investition muß sich also in dieser Zeit amortisiert haben. Schon im Zusammenhang mit der Amortisationsrechnung gibt es bekanntlichböse Fallen, die aber im gegebenen Rahmen nicht näher betrachtet werden können. Interessanter sind die nebenstehenden Prognosedaten für Ein- und Auszahlungen hinsichtlich dieser Maschine.

In Zeile null (dem Anschaffungszeitpunkt) entstehen keine Einzahlungen E. In den folgenden sechs Jahren werden die jeweils genannten Einzahlungen durch Einsatz der Maschine prognostiziert. Die Auszahlungen A zum jeweiligen Zeitpunkt t sind die zum laufenden Betrieb der Maschine erforderlichen Auszahlungen.

Der Prüfungsteilnehmer weiß (hoffentlich), daß solche dynamischen Methoden pagatorisch sind, also in Zahlungsbegriffen denken. Wenn der Aufgabentext also eine Mindnestrentabilität (d.h. einen Kalkulationszinsfuß) i.H.v. 8% nennt, kommt das wenig überraschend. Viel verwunderlicher ist da schon die Angabe, daß die Maschine steuerlich bis auf den Wert null abgeschrieben werden soll. Die Abschreibung beträgt also 8.000 Euro pro Jahr – aber was zum Teufel hat so eine Angabe in einer dynamischen Rechnung verloren? Berechnet werden soll der optimale Ersatzzeitpunkt. Arghh!

Hauptproblem ist, daß es eine Vielzahl einander teilweise sogar widersprechender Lösungsverfahren gibt – die zu allem Überfluß auch noch theoretisch fragwürdig sind, was jedoch vor einer Prüfung vermutlich wenig interessant ist. Es hilft aber, die Sache ein wenig zu untersuchen. Irgendwas Signifikantes wird dabei ja schon herauskommen. Fangen wir also mal damit an:

Zunächst bilden wir für jedes Jahr den Überschuß der Einzahlungen E über die Auszahlungen A zum jeweiligen Zeitpunkt t. Das gleicht der Lösungsmethode in der "normalen" Barwertrechnung. Dann werten wir die Abschreibung AfA aus. Diese beträgt bei linearer Abschreibung (§7 Abs. 1 EStG) ja 8.000 Euro pro Jahr. Hieraus kann der restwert RW zum Zeitpunkt t bestimmt werden:

t Et–At AfAt RWt Zinst Saldot Barwertt Kumulation
 
0 –48.000,00 €   48.000,00 €   –48.000,00 € –48.000,00 € –48.000,00 €
 
1 18.000,00 € 8.000,00 € 40.000,00 € 3.840,00 € 6.160,00 € 5.703,70 € –42.296,30 €
2 24.000,00 € 8.000,00 € 32.000,00 € 3.200,00 € 12.800,00 € 10.973,94 € –31.322,36 €
3 26.000,00 € 8.000,00 € 24.000,00 € 2.560,00 € 15.440,00 € 12.256,77 € –19.065,59 €
4 28.000,00 € 8.000,00 € 16.000,00 € 1.920,00 € 18.080,00 € 13.289,34 € –5.776,25 €
5 25.000,00 € 8.000,00 € 8.000,00 € 1.280,00 € 15.720,00 € 10.698,77 € +4.922,52 €
6 17.000,00 € 8.000,00 € 0,00 € 640,00 € 8.360,00 € 5.268,22 € +10.190,74 €
 
  90.000,00 €       28.560,00 € 10.190,74 €  

 

Manche Aufgabenautoren lieben es auch, ihre Schützlinge mit Angaben wie "möglicher Restverkaufswert" oder dergleichen zu verwirren. Eine solche Zahl ersetzt bisweilen die AfA-Rechnung. Pauschal repräsentiert die Abschreibung einen (mehr oder weniger fiktiven) Restwert, der jedes Jahr um 8.000 (oder einen Marktwertverlust) sinkt. Was aber machen wir mit diesen Zahlen?

Der Saldo jeder Periode t kommt zustande, indem zunächst der Restwert verzinst wird. Die Zinsspalte ist eine besondere (eigentlich auch bessere) kalklulatorische Zinsrechnung. Der Restwert jedes Jahres 8und nicht ein Durchschnitt) wird verzinst, beispielsweise bei t = 1 mit 48.000 Euro x 8% = 3.840 Euro oder bei t = 2 mit 40.000 Euro x 8% = 3.200 Euro. Man bedenke, daß die Abschreibung am Jahresende passiert. Es muß also jeweils der Vorjahresrestwert (!) für die Verzinsung zugrundegelegt werden, weil der im abgerechneten Jahr noch den Restwert der Anlage repräsentierte.

Ist das geschafft, wird vom Einzahlungsüberschuß jedes Jahres der Wertverlust (im Beispiel durch die Abschreibung) und der zuvor berechnete kalkulatorische Zins abgezogen. Dies ergibt den Saldo. Wie gesagt, man kann über theoretische Grundlagen und hierin steckende Definitionen streiten, aber das unterlassen wir in diesem Artikel, denn es trägt nichts zum Prüfungserfolg bei. Der ist indes schon nahe:

Jetzt berechnen wir nämlich von jeder einzelnen Zeile für t = 1 bis t = n den Barwert mit der üblichen Barwertformel und dem oben angegebenen Kalkulationszins i.H.v. 8%. Die positive Summe der Kapitalwerte (unterste Zeile) indiziert, daß die Investition sich unter den gegebenen Zinsbesingungen lohnt.

Schließlich werden die Barwerte kumuliert. Der optimale Ersatzzeitpunkt ist nach dem Nulldurchgang der kumulierten Werte erreicht. Hier ist die Amortisation unter dynamischen Gesichtspunkten erreicht worden. Hier ist das investierte Geld zu seinem Herren und Meister zurückgeflossen, hier haben die Kröten den Salto gesprungen. Nach dem Krötensalto aber ist das Geld für anderweitige Investitionen frei – zum Beispiel für eine Ersatzinvestition.

Wie gesagt, theoretisch wäre das angreifbar, aber prüfungswichtig ist es allemal. Besonders lecker ist aber, daß es mehrere Rechenwege gibt. Im nächsten Artikel zeigen wir einen anderen Aufgabentyp, der auf ganz ähnlichen Ausgangsannahmen beruht. Um dieses Beispiel aber selbst nachzurechnen, bitte erstmal hier klicken.

Links zum ThemaÜbersicht: Die wichtigsten Verfahren der Investitionsrechnung | Amortisationsrechnung: Warum Fehler durch häufige Wiederholung nicht richtiger werden… | Kostenrechnung: Die häufigsten Fehler bei der Berechnung der kalkulatorischen Zinskosten | Kapitalwertrechnung: Wo der Untergang droht | Interner Zinsfuß: eine hammerharte Prüfungs-Knallschote |Kapitalwertrechner für Excel (interne Links)

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